Диофантово уравнение решение

Методическая разработка по алгебре 11 класс на тему: Диофантовы уравнения и методы их решения. Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решение диофантовых уравнений ДУ. Целью настоящей работы является углубление и систематизация знаний, полученных по теме «ДУ» в курсе теории чисел. Многие задания, изложенные в данной работе, могут быть использованы в курсе алгебры средней школы и на факультативах по теме «ДУ» с целью расширения математического кругозора учащихся. Скачать: Красноярский Государственный Педагогический Университет Курсовая работа по теме: «Некоторые диофантовы уравнения» Выполнила: студентка 3 курса математического факультета 32 группы Апрелкова Ксения. Научный руководитель : кф-мн доцент кафедры алгебры Тимофеенко Галина Владимировна. Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решение диофантовых уравнений ДУ. Целью настоящей работы является углубление и систематизация знаний, полученных по теме «ДУ» в курсе теории чисел. Многие задания, изложенные в данной работе, могут быть использованы в курсе алгебры средней школы и на факультативах по теме «ДУ» с целью расширения математического кругозора учащихся. Историческая справка Жил Диофант, по-видимому, в 3. Здесь прах погребен Диофанта, И числа поведать могут, о чудо, сколь долг был век его жизни. Часть шестую его представляло счастливое детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни -пухом покрылся тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке Диофант. Он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына, Коему рок половину лишь жизни Счастливой и светлой Дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, скольких лет жизни достигнув, Смерть воспринял Диофант? Древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но так как у них еще не было равенства и знаков действий вроде нынешних плюса и минусато записывать уравнения они, конечно, не умели. Первый по-настоящему серьезный шаг в этом на правлении сделал замечательный александрийский по названию большого культурного, торгового и научного центра древнего мира- Александрии ; этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побе режье Египта ученый Диофант, использовавший в своем творчестве дости жения египтян, вавилонян и греков. В его труде «Арифметика» есть уравне ния первой степени с одним неизвестным, главное в этой книге вовсе не в. И прежде чем перейдем к этому главному, поговорим еще о записи уравнений. Самое интересное у Диофанта — решение так называемых неоп ределенных уравнений. И второе, не менее интересное — Диофант придумал обозначения для неизвестных. Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки еще не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые 9 букв : αβγ ,… обозначали числа от 1 до 9 ;следующие девять : ιχ ,…обозначали числа от 10 до 90 ; наконец, следующие девять: ρσ . Чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквамиобозначающими число, ста вилась черточка. Букв в алфавите было 28одна из них была особой — она обозначалась ς сигма концеваястави лась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать первую степень не известного, так же как мы обычно обозначаем ее буквой Придумав это, Диофант, по-видимому, уже быстрее стал двигаться. Во всяком случае в « Арифметике » он обозначал специальными значками не только первую, но и вторую, третью, четвертую, даже пятую и шестую степени неизвестного. Напримерквадрат неизвестного он обозна чал значком Δΰ первые две буквы слова Δΰναμίς-«дюна мис»-«сила». Ну а если и числа, и неизвестные записаны специальными символами, то нелепо будет записывать сло вами указания о действиях над ними! И Диофант вместо слова «равняется» стал писать ίσ - две первые буквы слова ίσος «исос»-«равный». Это слово тоже нам знакомо. Без сомнения мы слышали про изотопы, изобары, изотермы. Диофант придумал знак и для вычитания - им служила буква ψ пситолько перевернутая, укороченная и упрощенная по форме, то есть вот такая: Λ. А без знака сложения Диофант обходился довольно - просто слагаемые записывал рядом друг с другом. Диофант записывал коэффициенты справа от неизвестных, кроме того, в уравнениях он обязательно ставил перед свободным членом значок Μ- первые две буквы слова Μονας «монас» - единица, то есть писал «тринадцать единиц». Диофант придумал еще несколько математических знаков, но их в наше время не применяют. Придумал Диофант и два основных приема решения уравнений — перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов. В средневековой Европе мысли Диофанта получили широкое распространение и развитие. Приемы решения уравнений попали в Европу особым путем, и здесь уже приходиться обращаться к страницам средневековой истории…. Решение в целых числах уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним переменным представляет собой одну из трудных проблем теории чисел. Некоторые виды таких уравнений были рассмотрены знаменитыми математиками древности : Пифагором 6в. В память о последнем эти уравнения называются диофантовыми. Диофантовы уравнения во все времена привлекали внимание математиков. Ими занимались классики математики: Ферма 1601-1655Л. Эйлер 1707-1783Ж. Лагранж 1736-1813К. Гаусс 1777-1855П. Чебышев 1821-1894 и др. Им уделяют внимание и многие математики современности. §2 Задачи, приводящие к диофантовым уравнениям. Некто подошел к клеткев которой сидели фазаны и кролики. Сначала он подсчитал головы, их оказалось 15. Потом он подсчитал ноги, их было 42. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке? Решение : Пусть X-число кроликов, а Y-число фазанов. Но число кроликов, как и число фазанов, не может быть ни дробным, ни отрицательным! А между тем, зная это дополнительное условие, иногда можно обойтись и без второго уравнения, получив, вполне удовлетворяющие нас результаты из одного уравнения с двумя переменными. На складе имеются гвозди в ящиках по 16,17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100 кг. Гвозди Гвозди Гвозди По 17 кг. Попробуем решить задачу, составив уравнение обычным путем. Итак, допустим, что задача решена: ящиков по 16 кг будет X штук, по 17 кг-Y штук, по 40 кг-Z штук. Может быть, взять один ящик по 40 кг, а оставшиеся 60 кг набрать, комбинируя ящики по 16 и 17 кг: если взять один ящик 17 кг. Получается, что ящики по 40кг нам вовсе не нужны. Если задача имеет решение, то комбинировать придется ящики только по 16 и 17 кг. Если разность будет делиться на 16, то задача имеет решение, если нет — кладовщику придется вскрывать хотя бы один ящик. Это решение единственное, то есть других вариантов. Можно было бы, увидев, что ящики по 40 кг для решения задачи не нужны, пойти дальше иным путем. Если взять 6 ящиков по 16 кг, то есть подобрать такое число, делящееся на 16которое ближе всего к 100,то окажется, что до 100 не хватает 4 кг, значит 4 ящика из этих 6 надо заменить четырьмя ящиками по 17 кг, и получим тот же результат. Вывод: Задач, похожих на эту, очень много, и многие из них имеют практическое значение. Соответствующие уравнения могут иметь неизвестные не только в первой степени, но и в любой. Да и вопросы, вытекающие из дополнительных условий, могут оказаться самыми разнообразными. И опять приходим к новому разделу математики. Этому разделу положил начало Диофант. Такие уравнения теперь называют «диофантовыми». В теории чисел созданы специальные методы решения диофантовых их еще называют неопределенными уравнений. Мы будем рассматривать эти методы, но об этом далее…. У мальчика было 50 коп. В киоске имелись марки по 4 коп. Помогите мальчику и киоскеру выйти из создавшегося положения. Решение: Эта задача, в отличие от предыдущей, имеет не одно, а несколько решений. Аналогично рассуждая, получим, что задача имеет 4 различных решения: 2 марки по 4 коп и 14 марок по 3 коп; 8 марок по 4 коп и 6 марок по 3 коп; 5 марок по 4 коп, и 10 марок по 3 коп; 11 марок по 4 коп, и 2 марки по 3 коп; Простота жизненных ситуаций в задачах, приводящих к диофантовым уравнениямзаставляет предполагать, что люди, наверное, и до Диофанта умели решать такие задачи, не пользуясь какой-либо общей теорией, то есть поступали примерно так, как бы это сделали бы мы при решении задачи о ящиках с гвоздями или о марках. Общие теории никогда не возникают на пустом месте. Сначала появляются отдельные задачи, а уж потом находятся люди, понимающие, что наступило время перехода от таких задач к общим приемам и методам. Вот, например, еще одна частная задача на неопределенные уравнения - теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте известно, что Диофант хорошо ее знал и часто использовал : Задача4. Если стороны треугольника пропорциональны числам 3,4 и 5, то этот треугольник — прямоугольный. Этот факт использовали для построения углов на местности прямых углов - ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид - это надо было уметь. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы см. Треугольник с такими длинами сторон называют египетским. Безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. Нетрудно догадаться, что числа 5,12,13 тоже можно считать корнями этого уравнения. А есть ли еще такие тройки чисел? И нельзя ли, взяв произвольно одно из чисел, указать остальные два? Например, необходимо, чтобы меньший катет треугольника равнялся 4 см. Может ли в этом случае длина другого катета и гипотенузы выражаться целым числом сантиметров? Такие вопросы интересовали еще мудрецов Древнего Вавилона. Они нашли ответы на. Знал это и Пифагор. Запишем подряд квадраты натуральных чисел «квадратные числа» ,как говорили древниеотделив друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами: 1, 49162536496481 ,100121144169196 ,…… 3 ,579 ,11 ,13 ,15 ,17, 19, 21, 23, 2527 . Есть ли в нижней строке квадратные числа? Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствует 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку:5,12,13. Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте. Кстати, мы имеем право сформулировать такую теорему: Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов. Составлять такие строки последовательности — довольно скучное и трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел проще и быстрее. Эти формулы-правила были известны уже 2500 лет. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора»а его решения — «пифагоровы тройки». Сделаем этот шаг и. Это сделано с целью получить аккуратные ответы. А теперь составим таблицу табл,1 : Длины сторон целочисленные прямоугольных треугольников: ab 2 3 4 5 6 1 3,4,5 6,8,10 8,15,17 10,24,36 12,35,37 2 - 5,12,13 12,16,20 20,21,29 24,32,40 3 5,12,13 - 7,24,25 - 27,36,45 4 12,16,20 7,24,25 - - - Ясно, что таблицу можно расширить и вправо и. Подчеркнем главное- уравнение решено, мы знаем способ вычисления всех возможных целочисленных значений длин сторон прямоугольных треугольников. §3 Методы решения диофантовых уравнений Метод1. Свойства делимости и диофантовы уравнения. Для решения некоторых диофантовых уравнений следует рассмотреть возможные остатки от деления одного целого числа на другое. При этом используются свойства: - если целое число a при делении на m дает остаток r, то его квадрат при делении на m дает остаток, равный остатку от деления числа r 2 на m, -если числа a,b при делении на m дают остатки r 1 ,r 2то число ab при делении на m дает остаток, равный остатку от деления r 1 r 2 на m. Рассматриваются отдельно случаи, когда переменные принимают четные, нечетные значения. Поэтому данное уравнение в целых числах неразрешимо. Решение: Квадрат целого числа Y 2 при делении на 3 должно давать остаток 2, что невозможно. Решение: Уравнение в цнлых числах неразрешимо, так как квадрат целого числа Y 2 при делении на 5 может давать остатки 0,1,4,но не 2,3, как этого требует уравнение. Решение: Уравнение в целых числах решения не имеет, так как квадрат целого числа при делении на 7 может давать остатки 0,1,2,4, но не 3,5,6, как этого требует уравнение. Решение: Число 1967 при делении на 8 дает остаток 7. Так как квадрат целого числа при на 8 дает остатки 0,1,4, то сумма квадратов трех целых чисел при делении на 8 может дать остатки: 0,1,2,3,4,5,6,но не 7. Целых решений уравнения не имеют. Уравнения целых ненулевых решений не имеют, так как в левую часть простое число 7; P входит в четной степени, а в правую - в нечетной. Так как 44Y-1 не делится на 11, то правая часть делится на 11 лишь в первой степени, в то время как левая часть уравнения делится на четную степень числа 11. Диофантовы уравнения, допускающие разложение на множители. Отсюда следует, что числа X-1,Y-1 оба равны либо 1, либо -1. Множество натуральных решений: { 640;6700416 ; 6700416;640 } Метод 3. Метод подстановки в решении диофантовых уравнений: Некоторые диофантовы уравнения могут быть решены в рациональных числах при помощи подстановки. Если в диофантовом уравнении второй степени с двумя переменными одно из переменных входит лишь во второй степени, то для нахождения целых решений таких уравнений могут быть применены подстановки Эйлера. Найдем решения, для которых 1 Другие решения получаются перестановкой. Множество решений: { 3;3;32;3;63;6;26;2;33;2;62;6;36;3;22;4;44;2;44;4;2 } Метод 4. Сравнения и диофантовы уравнения. Применим свойства сравнений к решению некоторых уравнений. Многие уравнения, решаемые с помощью свойств делимости, могут быть решены при помощи сравнений. Если в результате получим c ,то все доказано. Систематическое изучение диофантовых уравнений в средней школе способствует привитию навыков самостоятельной работы в математике играет большую роль в повышении уровня математической подготовки школьников. Продолжая этот процесс, получим, что числа x,y,z делятся на любую натуральную степень числа 13. §4 Основные пифагоровы треугольники. Задача о нахождении всех решений диофантовых уравнений второй степени. Мы пришли к уравнению того же вида, что исходное, причем теперь величины x 1 и y 1 не имеют общих делителей, кроме 1. Таким образом, при решении уравнения 1 можно ограничиться случаем, когда x и y взаимно просты. Тогда хотя бы одна из величин x и y например, x будет нечетной. Обозначим через d 1 НОД выражений z+y и z-y. Найдем теперь y и z из равенств 3. В силу нечетности x из 4 получаем, что U,V и d 1 также нечетны. Простой подстановкой x,y,z в уравнение 1 легко проверить, что при любых U и V числа 7 удовлетворяют этому уравнению. Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются домножением решений, содержащихся в формулах 7на произвольный общий множитель d. Тем же путем, каким мы получили все решения уравнения 1могут быть получены и все решения других уравнений того же типа. Заметим, что если x, y, z есть решения уравнения 1 и x, y, z не имеют общего делителя, отличного от 1,то они и попарно взаимно просты. То же самое будет, если x и y или y и z делятся на p. Действительно, если х четно, то левая часть уравнения 1 будет четным числом и, значит, z также будет четным. Но x 2 и z 2 будут тогда кратны 4. Отсюда следует, что 2y 2 должно делиться на 4, другими словами, что y тоже должно быть четным числом. Значит, если х четно, то все числа x, y, z должны быть четными. Итак, в решении без общего, отличного от 1 делителя х должно быть нечетным. Отсюда уже следует, что и z должно быть тоже нечетным. Итак, илиили нечетно. Поэтому или числа z+x и взаимно простые числа и z-x. Нет ни одной математической проблемы, которая была бы столь популярна, как знаменитая последняя теорема Ферма. Ее автор, Пьер Ферма 1601-1665еще при жизни был признан одним из величайших математиков Европы. Сегодня имя Ферма неотделимо от теории чиселоднако его теоретико-числовые работы были настолько революционны и так опережали свое время, что их значение не было понято современниками и слава Ферма основывалось главным образом на его достижениях в других областях математики: ему принадлежат важные труды по аналитической геометрии наряду с Декартом Ферма был одним из создателей этой наукипо теории максимумов и минимумов функций, впоследствии развившейся в математический анализ, и по геометрической оптике. Свои научные результаты Ферма не публиковал. Будучи по профессии юристом, он посвящал математике свободное время и не рассматривал ее как главное дело своей жизни. А сделанных им открытиях известно из его переписки с другими ученымиа также из бумаг, оставшихся после его смерти. В частности, на полях своего экземпляра «Арифметики» Диофанта, великого классического произведения древнегреческой математики, в 1621 году переведенного на латинский язык, Ферма оставил 48 замечаний, содержащих открытые им факты о свойствах чисел. Доказательства Ферма до нас не дошли, однако в тех случаях, когда он утверждал ту или иную теорему, впоследствии эту теорему удавалось доказать. Единственным исключением является следующие утверждение: «Cubum autem in duos cubos aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos et generaliter nulam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstreationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet» «Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком узки, чтобы оно здесь вместилось. Этот текст, сопровождаемый указанием: «Наблюдение господина Пьера де Ферма», содержится в издании трудов Диофанта, которая было выпущено Ферма-сыном в 1670 году, через 5 лет после смерти отца. Это подлинное замечание, внесенное Ферма в его собственный экземпляр трудов Диофанта, в настоящее время утраченный каждому, кто держал в руках «Арифметику» Диофанта издания 1621 года, бросаются в глаза необычайно широкие поля - возможно, именно по этой причине Пьер Ферма записывал на них свои замечания. Это утверждение называется последней или великой теоремой Ферма. В настоящие время все специалисты твердо уверены в том, что Ферма не обладал доказательством этой теоремы и, сверх того, что элементарными методами ее нельзя доказать. §5 Алгебраические уравнения выше второй степени с тремя неизвестными Если для уравнений с двумя неизвестными мы можем дать ответ на вопрос о существовании конечного или бесконечного числа решений на множестве Z, то для уравнений с более чем двумя неизвестными выше второй степени дать ответ на этот вопрос можно только для весьма частных классов уравнений. Тем не менее, в этом последнем случае поддается разрешению и более трудный вопрос об определении всех решений уравнений в целых числах. В качестве примера остановимся на великой теореме Ферма. Несмотря на то, что Ферма утверждал, что он имеет доказательство по-видимому, методом с пуска, о котором будет речь ниже этого утверждения, его доказательство впоследствии не было найдено. Более того, когда математик Куммер попытался его найти и даже думал одно время, что он его нашел, он обнаружил, что одно положение, верное в области обычных целых чисел, оказывается неверным для более сложных числовых образований, с которыми естественно приходится сталкиваться при исследовании проблемы Ферма. Это обстоятельство заключается в том, что так называемые целые алгебраические числа- другими словами, корни алгебраических уравнений с целыми рациональными коэффициентами и с коэффициентом при старшей степени, равным 1, - могут не единственным способом быть разложены на простые, неразложимые в свою очередь, целые сомножители той же алгебраической природы. Обычные же целые числа разлагаются на простые множители единственным образом. Рассмотрим совокупность всех целых алгебраических чисел видагде m и n — обычные целые числа. Легко видеть, что сумма и произведение двух таких чисел опять будут числом той же совокупности. Совокупность чисел, обладающая тем свойством, что она содержит любые суммы и произведения чисел, в неё входящих, называется кольцом. По определению, в нашем кольце содержатся числа 2, 3. Каждая из этих чисел в этом кольце, как легко можно установить, будет простым, то есть не будет представляться в виде произведения двух не равных единице целых чисел нашего кольца. То же обстоятельство, не единственность разложения на простые сомножители, может иметь место и в других, более сложных, кольцах алгебраически целых чисел. Обнаружив это обстоятельство, Куммер убедился, что его доказательства общей великой теоремы Ферма не верно. Для преодоления трудностей, связанных с не единственностью разложения на множители, Куммером была построена теория идеалов, которая играет в настоящие время исключительно большую роль в алгебре и теории чисел. Но даже с помощью этой теории полностью доказать великую теорему Ферма Куммер не смог и доказал ее только для n, делящихся хотя бы на одно из так называемых регулярных простых чисел. Не останавливаясь на расшифровке понятия регулярного простого числа, мы можем указать только, что до настоящего времени неизвестно, существует ли только конечное число таких простых чисел или их бесконечное множество. В настоящее время великая теорема Ферма доказана для многих n, в частности для любого n, делящегося на простое число, меньшее 100. Великая теорема Ферма сыграла большую роль в развитии математики благодаря связанному с попытками ее доказательства открытию теорий идеалов. Но при этом следует отметить, что совсем другим путем и по другому поводу эта теория была построена замечательным русским математиком Золотаревым, умершим в расцвете своей научной деятельности. В настоящее время доказательство великой теоремы Ферма, особенно доказательство, построенное на соображениях теории чисел, может иметь только спортивный интерес. Конечно, если это доказательство будет получено новым и плодотворным методом, то значение его, связанное со значением самого метода, может быть и очень большим. Следует отметить, что попытки, делающиеся любителями математики и в наше время, доказать теорему Ферма совсем элементарными средствами обречены на неудачу. Элементарные соображения, опирающиеся на теорию делимости чисел, были использованы еще Куммером и дальнейшая их разработка самыми выдающимися математиками пока ничего существенного не дала. Теорема: Уравнение Ферма 1 не имеет решений в целых числах x, y и zxy z0. Доказательство : Мы докажем даже более сильную теорему, именно, что уравнение 2 не имеет решений в целых числах x, y и zxy z0. Из этой теоремы уже следует непосредственно отсутствие решений у уравнения 1. Если уравнение 2 имеет решение в целых, отличных от нуля числах x, y, z, то можно предполагать, что эти числа попарно взаимно просты. Итак, мы доказали, что если существует решение уравнения 2 в целых, отличных от нуля числах, то существует также решения в целых, отличных от нуля и взаимно простых числах. Поэтому нам достаточно доказать, что уравнение два не имеет решений в целых, отличных от нуля и попарно взаимно простых числах. В дальнейшем ходе доказательства мы, говоря, что уравнение 2 имеет решение, будем предполагать, что оно имеет решение в целых, положительных и попарно взаимно простых числах. В §4 мы доказали, что все решения уравнения 4 в целых положительных, попарно взаимно простых числах определяются по формуле имеют вид:, 5 где u и v- два любых нечетных, взаимно простых положительных числа. Придадим несколько другой вид формулам 5определяющим все решения уравнения 4. Равенства 6 и 7 показывают, что любой паре нечетных взаимно простых чисел u и v соответствует пара взаимно простых чисел а и b разной четности и что любой паре взаимно простых чисел а и b разной четности соответствует пара взаимно простых нечетных чисел u и v. Эти формулы показывают, что x и y разной четности. Противоположное допущение ничего не изменило бы, так как было бы достаточно заменить x 0 на y 0 и наоборот. Но мы уже знаем, что квадрат нечетного числа {, a- всякое нечетное число, N, M - целые числа} дает в остатке 1 при делении на 4. Поэтому из равенства10 следует, что а — нечетно, b — четно. В противном случае левая часть этого равенства при делении на 4 давала бы в остатке 1, а правая, так как мы предположили а—четным, b—нечетным, -1. Этим доказано, что уравнение 2 не имеет решений. Метод доказательства, которым мы пользовались, заключавшийся в построении с помощью одного решения бесчисленной последовательности решений с неограниченно убывающими положительными z, называется методом спуска. Как мы уже говорили выше, осуществить этот метод в общем случае теоремы Ферма мешает пока не единственность разложения целых чисел алгебраических колец на простые сомножители того же кольца См. Наличие общего делителя у двух из них влекло бы за собой существование общего делителя у всех трех. Кроме того, предположим, что z 0 — наименьшее из всех возможных z в решениях 15 в целых положительных числах. Мы уже видели, что квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1. Поэтому левая часть 18 при делении на 4 дает в остатке 1. Значит, в равенстве 18 скобка в правой части может входить только с плюсом. Значит, числа x 02n 2m 2 образуют решение уравнения 16причем x 0m 22n 2 взаимно просты. Таким образом, мы пришли к противоречию, допустив существование решения у уравнения 15и доказали, что это уравнение неразрешимо в целых, отличных от нуля числах. Вывод: Более трехсот лет теорема Ферма привлекала внимание многих поколений математиков и служила беспрецедентным стимулом для развития математики. При попытках ее доказать были разработаны мощные средства, приведшие к созданию обширного раздела математики- теории алгебраических чисел. Но до конца 1994 года в общем случае оставалась недоказанной. Получить ее полное доказательство удалось лишь с помощью теории эллиптических кривых. «Великая теорема Ферма» Башмакова «Диофант и диофантовы уравнения», «Решение уравнений в целых числах», М, 1957г. «Элементы теории диофантовых уравнений в задачах и упражнениях», Учебное пособие, С-П. Оглавление Данная презентация помогает обобщить знания по теме "Показательные уравнения и способы их решения". Элективный курс "Виды уравнений и приемы их решения" рассчитан на учащихся 10 классов. Предлагаемая программа курса позволит учителю повторить и систематизировать знания по решению простых уравнений. В презентации рассмотрены следующие методы решения логических задач:- метод рассуждений- метод таблиц- метод графов- метод кругов Эйлера- решение логических задач средствами алгебры логики. Изучение элективного курса поможет удовлетворить запросы учащихся, собирающихся продолжить обучение в вузах и нуждающихся в изучении физики на повышенном уровне как дополнение к базовым у. Виды уравнений и методы их решения» направлена на углубление и систематизацию знаний учащихся по указанной теме. Уравнение — одно из ва. Многие математические задачи сводятся к решению уравнений и неравенств. За время обучения математике школьникам приходится решать достаточно много уравнений и неравенств: линейных, квадратных, тригоно. Предлагаю учителям, работающим в 11-х классах конспект урока, который я разработала. Работа на уроке проводится в группах, на которые делится класс перед уроком. Данный проект направлен на углубление «линии уравнений» в школьном курсепоявляется возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании, ч.



COPYRIGHT © 2010-2016 vent-mp3.bz.ua