Показательная функция и ее свойства

Доказательство осуществим в два этапа. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования: мы обозначили разность х 2 -х 1 буквой r. Число2х' также положительно, значит, положительным является и произведение 2 x-1 2 Г -1. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху. Функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений. То, что данная функция не имеет наибольшего значения, очевидно, поскольку она, как мы только что видели, не ограничена сверху. Но снизу она ограничена, почему же у нее нет наименьшего значения? Предположим, что 2 г — наименьшее значение функции r — некоторый рациональный показатель. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции. Все это хорошо, скажете вы, но почему мы рассматриваем функцию у-2 х только на множестве рациональных чисел, почему мы не рассматриваем ее, как другие известные функции на всей числовой прямой или на каком-либо сплошном промежутке числовой прямой? Числовая прямая содержит не только рациональные, но иррациональные числа. Для изученных ранее функций это нас не смущало. Если аргументу х придать рациональное значение, то в принципе x вычислить можно вернитесь еще раз к началу параграфа, где мы именно это и делали. А если аргументу х придать иррациональное значение? Этого мы пока не знаем. Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали. Известно, что Рассмотрим последовательность рациональных чисел — десятичных приближений числа по недостатку: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508. Во избежание подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0. Тогда получим возрастающую последовательность : 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508. Соответственно возрастает и последовательность Все члены этой последовательности — положительные числа, меньшие, чем 22, т. Апо теореме Вейерштрасса см. § 30если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, из § 30 нам известно, что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный предел договорились считать значением числового выражения. Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1. Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Доказано, что степени с любыми действительными показателями обладают всеми привычными свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении — вычитаются, при возведении степени в степень — перемножаются и т. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции у-ах, определенной на множестве всех действительных чисел. Свойства функции у - 2 х : 1 2 не является ни четной, ни нечетной; 248 3 возрастает; 4 не ограничена сверху, ограничена снизу; 5 не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6 непрерывна; 7 8 выпукла. Строгие доказательства перечисленных свойств функции у-2 х приводят в курсе высшей математики. Часть этих свойств мы в той или иной мере обсудили ранее, часть из них наглядно демонстрирует построенный график см. Например, отсутствие четности или нечетности функции геометрически связано с отсутствием симметрии графика соответственно относительно оси у или относительно начала координат. Рассмотрим теперь функциюсоставим для нее таблицу значений: Отметим точки на координатной плоскости рис. Свойства функции 1 2 не является ни четной, ни нечетной; 3 убывает; 4 не ограничена сверху, ограничена снизу; 5 нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6 непрерывна; 7 8 выпукла. Это — следствие общего утверждения см. Функцию вида называют показательной функцией. Кривую, изображенную на рис. На самом деле математики экспонентой обычно. Так что термин "экспонента" используется в двух смыслах: и для наименования показательной функции, и для названия графика показательной функции. Обычно по смыслу бывает ясно, идет речь о показательной функции или о ее графике. Правда, обычно это утверждение уточняют следующим образом. Ось х является горизонтальной асимптотой графика функции Иными словами Первое важное замечание. Школьники часто путают термины: степенная функция, показательная функция. Сравните: — это примеры степенных функций; — это примеры показательных функций. Прежде чем переходить к решению примеров, заметим, что показательная функция существенно отличается от всех функций, которые вы изучали до сих пор. Чтобы основательно изучить новый объект, надо рассмотреть его с разных сторон, в разных ситуациях, поэтому примеров будет. Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости следующих двух теорем. Решить уравнения и неравенства: Решение, а Построив в одной системе координат графики функцийзамечаем рис. Значит, решением неравенства В основе всех выводов, сделанных при решении примера 2, лежало свойство монотонности убывания функции. Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости следующих двух теорем. Можно действовать так: построить график функции у-3 х, затем осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом 3, а затем полученный график поднять вверх на 2 единицы масштаба. Для этого выберем контрольные точки для функциино строить их будем не в старой, а в новой системе координат эти точки отмечены на рис. Затем по точкам построим экспоненту — это и будет требуемый график см. Они пересекаются в одной точке; судя по чертежу, это — точка 1; 5. Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения. Дана функция Доказать, что Решение. По условию Имеем: Пример 6. Мордкович Алгебра 10 класс по математикедомашнее задание, учителям и школьникам на помощь Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио- видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку. Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь. © Автор Гипермаркета Знаний и системы DRESS - Спиваковский При использовании материалов ресурса ссылка на school.



COPYRIGHT © 2010-2016 vent-mp3.bz.ua